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谷歌的“公式制造者”在《自然》上,你也可以用它来“成为”一个数学天才。

金磊 发自 凹非寺量子位 报道 | 公众号 QbitAI

AI,可以产生数学公式,照样迄今还没有解决的那种问题。

例如π和e如许的常数,当然在科学范畴习以为常,然则较量争论其高精度近似值常常使人头大年夜。

由谷歌打造的拉马努金机(Ramanujan Machine)便帮上了大年夜忙——能算近似值,还能在数学较量争论中快速找出精准纪律

而且就在今天,还登上了顶刊Nature。

AI生成连分数

生成连分数(continued fractions),就是拉马努金机的功能之一。

它是较量争论π和e如许常数的体式格局之一,它的分母无限耽误下去,后果就会愈来愈接近:

那末谷歌的科学家为何要用AI打造连分数?

这是由于各类数学常数的连分数是存在却不是唯一的。

假如找到一个适合的连分数,那末较量争论后果的收敛速度会异常快,大年夜大年夜削减较量争论机的运算量。

而发现连分数里那些非凡整数的纪律,需要有长年数学常识的堆集,更要有易于常人的直觉。

有了拉马努金机械,即可以用电脑取代人的思惟去寻觅非凡的连分数了。

而且连分数还利用到了各类概念上主要的数字上。

个中一个是加Catalan常数。

这个数字大年夜约为0.916,但可以说长短常的神秘,由于没有人知道它是不是是有理的。

换而言之,没人知道它是不是可以透露显露为两个整数的分数。

数学家们对此数可以或许做到的,就是证实它的 “非理性指数”——权衡用有理数来近似一个数字的难度。

证实Catalan常数是无理数,就等于证实它的无理指数大年夜于1。

人类对此最好的后果是0.554,但在拉马努金机的匡助下,这一后果有改良,到达了0.567。

具体若何实现?

论文傍边提到了两种算法。

第一种是中央相遇法(The Meet-In-The Middle)。这个算法的思绪异常简单:

给定一个常数c(如 c=π),按照公式:

先较量争论出公式右侧一个精度较低的值,并将其存入哈希表,然后颠末历程列举的方式来使公式阁下两边的值相匹配,匹配上的值称为“hits”。

随后增加hits的精度并从头较量,反复这个历程直到hits到达指定精度。这个究竟的后果就供应了一个新的连分数。

有些hits值会产生误报,针对这一点,研究人员提出颠末历程较量争论肆意精度的有理函数来削减误报。

在这个算法傍边,由于公式右侧的较量争论成本更高,所以将它的值以哈希表来存储,以空间换时候。这个哈希表也可以或许留存下来从头处事于公式左侧的列举,从而大年夜大年夜削减将来的列举时候。

MITM-RF算法不需要任何干于根基常数的先验信息,不外有很多根基常数的布局是可以揣摸出来的,以此作为MITM-RF的先验信息可以有用下降空间复杂度和较量争论复杂度。

不外,MITM-RF方式照样存在扩大性不佳的问题,是以研究者利用到了机械进修傍边常常利用的梯度下落方式,他们称其为Descent&Repel方式。

我们可以把优化问题描写成这个模样:

这里的最小值不是零维度点,而是(d-1)维的流形,个中d是给定的单一束缚所预期的优化变量的数量。

研究者还不雅察到所有的最小值都是全局的,而且它们的误差为0,也就是说所有的梯度下落历程最后城市获得L=0的解。

这个优化问题肇端于一个大年夜的点的调集,在示例傍边,所有初始前提被放置在一条线上。对每一个点迭代履行梯度下落,然后强制所有的点颠末历程库仑排挤彼此排挤。颠末历程梯度下落步调包管算法朝向整数格并趋向最小曲线,最后仅返回位于整数格上的解。

AI增加了数学的复杂性

主动生成意料,并不是较量争论机匡助鼓动数学成长的唯一范畴。

当然很多半学家如故爱好用纸、笔来工作,然则行使数学软件,确切可以操作复杂的代数表达式。

较量争论机辅助较量争论在几个引人注视的后果的证实中阐扬了关头感化。

比来,一些数学家在人工智能方面获得了进展,人工智能不但能进行反复的较量争论,还能本身做出证实。

别的一个正在成长的范畴是软件,它可以搜检人类写的数学证实,并搜检它是不是正确。

正如证实主动化的先驱Zeilberger所述:

究竟,人类将会被镌汰。随着人工智能产生的数学的复杂性增加,数学家们将会失落去较量争论机正在做甚么的轨迹,而且只能粗略地理解较量争论。

但当然较量争论性可以或许提出数学透露显露,甚至证实它们是正确的,但假如没有人类的干与干与,今朝还不清楚它们是不是仅仅是从手艺角度来分辨这些数学透露显露。

是以也有人认为,近似于拉马努金机如许的AI,只是数学工作者的一个辅助东西。

关于拉马努金

拉马努金是印度最有名的数学家之一。

在20世纪初期,拉马努金对数学做出了主要供献。

他没受过正规的高级数学教育,陷溺数论,尤爱牵扯π、质数等数学常数的求和公式,和整数分拆。

拉马努金习惯以直觉导出公式,不喜作证实(事后常常证实他是对的)。他留下的那些没有证实的公式,激起了后来的大年夜量研究。

最后,与拉马努金机相干的项目,在GitHub上已开源,戳下方链接可以去尝尝哦~

https://www.nature.com/articles/d41586-021-00304-8

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